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　　扩散模型和流匹配是生成高分辨率数据（如图像和机器人轨迹）的先进技术。扩散模型通过逐步去噪生成数据，其代表应用Stable Diffusion已扩展至机器人学领域形成“扩散策略”。流匹配作为更通用的方法，通过学习时间依赖的速度场将噪声转化为目标分布，适用于图像生成和机器人轨迹生成，且通常以较少资源实现更快生成。本文深入解析流匹配在图像生成中的应用，核心思想是将图像视为随机变量的实现，并通过速度场将源分布转换为目标分布。文中提供了一维模型训练实例，展示了如何用神经网络学习速度场，以及使用最大均值差异（MMD）改进训练效果。与扩散模型相比，流匹配结构简单，资源需求低，适合多模态分布生成。

　　扩散模型(Diffusion Models)和流匹配(Flow Matching)是用于生成高质量、连贯性强的高分辨率数据（如图像和机器人轨迹）的先进技术。在图像生成领域，扩散模型的代表性应用是Stable Diffusion，该技术已成功迁移至机器人学领域，形成了所谓的扩散策略(Diffusion Policy)。值得注意的是，扩散实际上是流匹配的特例，流匹配作为一种更具普适性的方法，已被Physical Intelligence团队应用于机器人轨迹生成，并在图像生成方面展现出同等的潜力。相较于扩散模型，流匹配通常能够以更少的训练资源更快地生成数据。本文将通过直观的解释和基础代码实现，深入剖析流匹配在图像生成中的应用，并提供一个简单的一维模型训练实例。

　　流匹配和扩散方法的核心理念是将数据（如图像）视为随机变量的实现。例如，下图中的8×8像素图像中每个像素都具有(0..255)范围内的RGB值。通过向其添加服从高斯分布的随机值，我们可以将其转化为随机图像。这里，我们用函数q()表示添加噪声的过程。通过追踪中间状态的图像，我们能够学习逆函数pθ()，其中θ对应神经网络的参数。该神经网络预测需要移除的噪声量，以将噪声转换回原始图像。这基本概括了扩散方法的工作原理。

　　扩散方法（上）通过预测添加到原始图像x0的高斯噪声来生成图像。流匹配（下）则将每个像素明确表示为通过速度场v()变换的高斯分布。扩散训练卷积神经网络以预测需要移除的噪声，而流匹配则学习时间依赖的速度场，将正态分布转换为表征图像的分布。

　　但是这里还存在一种更整体的视角来审视此问题。由于每个像素本质上是遵循高斯分布的随机变量，随机图像（右上）实际上就是一个均值为128且方差相对较大的高斯分布（右下），而包含有意义内容的图像（左上）则是均值等于实际像素值且方差相对较小的高斯分布（左下）。

　　虽然此处展示了64个独立分布，但也可将其视为一个64维的高斯分布。我们可以构想一个速度场vθ()，使随机粒子从x0分布移动到xT上的对应位置，而非通过添加噪声从左向右移动，并在从右向左移动时预测噪声。在整个分布范围内对随机粒子执行此操作，相当于将所有64个均值为0（方差为1）的正态分布x0转换为64个均值对应像素值的分布xT。这些概念在代码实现中将变得更加清晰。

　　让我们仅考虑图像中的单个像素，其值为2（为简化起见，我们假设分布以0为中心，而非255除以2）。我们可以从实际图像中采样1000次，获得下图所示的以x=2为中心的绿色概率密度分布。出于演示目的，我们选择了一个不太小的标准差。具有如此大方差的图像实现将类似于上述插图中的中间图像。我们还可以生成1000个像素值围绕0分布且方差为1的完全随机图像，这将产生橙色直方图。

　　N(0,1)分布的样本及其在N(2,0.5)分布上的对应位置。速度场（箭头）将每个样本从源分布移动到目标分布上的对应位置，从而将N(0,1)转换为N(2,0.5)。

　　我们现在可以构想一个速度场v(x,t)，该速度场将每个样本从一个分布移动到目标分布上的对应位置。这种速度依赖于x位置，在此例中表现为向右移动点。假设移动耗时为单位时间（例如一秒），速度也随时间变化。学习此速度场是流匹配的核心内容。如果对每个像素执行此操作，每个像素都有其特定的目标分布，则可以从噪声中生成图像。已知v(x,t)后，我们可以表述：

　　即速度场决定了分布x随时间的变化率(dx/dt)。我们可以通过对时间积分v(x,t)来计算最终分布：

　　您可能会疑惑，在不了解源分布与目标分布样本间对应关系的情况下，如何学习v(x,t)。

　　实际上，只需从两个分布中随机选择配对样本x0 ~ p0和x1 ~ p1，并用直线连接它们即可。使用足够多的样本后，平均速度场将自然呈现。如下图所示，在时间t=0时，样本主要分布在-2和2之间，而在t=1时，样本围绕2集中，并表现出更高的密度（因为N(2,0.5)的方差小于原始方差）。

　　N(0,1)和N(2,0.5)的随机配对。通过足够多的样本，可以清晰地展现如何平均移动样本以将一个分布转换为另一个分布。

　　我们还可以观察速度场随时间的变化。下图展示了速度作为x的函数。初始阶段（t=0，亮色），左侧区域的速度较高——将样本向右移动。在流动后期（较大t值，暗色），当粒子接近目标位置时，运动减缓。同时需注意，初始阶段在x2处的速度为负值，将那里的粒子向左移动。

　　为了学习速度场，我们需要两组粒子样本：一组从源分布采样，另一组从目标分布采样：

　　这将生成前文展示的直方图。那么速度场应该具有怎样的形式呢？让我们看看上述积分在Python中的实现方式：

　　这里，time_steps是一个从0到1以dt为增量的数组。例如，当dt=1ms时，我们将计算1000步。向量x包含从源分布（在我们的例子中为N(0,1)）中抽取的n_samples个随机值。在每个时间步，我们将速度场v添加到x，目标是使生成的x分布近似于从目标分布N(2,0.5)中抽样得到的分布。速度场由一个神经网络模型表示，该模型以当前分布和时间步为输入。需要注意的是，这实际上是求解常微分方程(ODE)，上述实现是其中最简单的方法之一，即欧拉方法。在此提及这一点是因为还存在许多更高效的求解方法。

　　该模型由输入层（接收(x,t)对并投影到hidden_dim=128维潜在空间）、两个隐藏层以及输出x的输出层组成。我们添加了层归一化和ReLU（修正线性单元）激活函数。注意，输出层后没有ReLU激活，因为x值可以为负。网络还包含残差连接，这有助于梯度更有效地传播，并提高训练稳定性。

　　现在我们可以利用训练好的模型将标准正态分布N(0,1)的任意样本转换为目标分布：

　　这个案例比较简单，并且我们略施技巧，恰好在适当时机停止训练。如果继续训练，损失值会降至0.25并停滞不前。此时生成的分布会越来越窄，最终在x=2处形成单一峰值。这是由于我们简化的损失函数（计算随机配对间的均方误差）导致的。虽然当目标方差较低时（例如生成真实图像或轨迹时）这种方法有效，但我们可以通过更直接地比较两个分布来改进模型。

　　使用Kullback-Leibler散度轻松比较参数化分布，但在这里我们面临的挑战是仅基于样本比较两个分布。给定两个概率分布P和Q，MMD定义为：

　　其中x和x是来自分布P的样本，y和y是来自分布Q的样本，k(x,y)是核函数，例如高斯核，用于测量x和y之间的相似度：

　　其中分布P包含m个样本，分布Q包含n个样本。当两个分布相同时，第三项抵消前两项，MMD值为0。

　　该方法实际上适用于任意概率分布，例如高斯混合模型。只需将target_samples替换为其他分布类型：

　　流匹配不需要像扩散方法中常用的复杂神经网络结构（如U-Net）就能从噪声中生成多模态/多维概率分布。与扩散类似，流匹配可以基于文本或图像嵌入进行条件约束，以生成特定类型的分布，且通常需要更少的数据和训练资源。

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